咳込みが酷いです

1ヶ月前から風邪引いたりなど繰り返しで、最近幼稚園で耳鼻科がありアレルギー鼻炎性と判断されまして。

2週間前ぐらいにクシャミがありの段々と鼻水が出始め1週間前に咳込みが酷く診てもらうなら、小児科じゃなくアレルギー科（小児科だったと思います）を、診てもらいましたが、鼻炎性と判断はされお薬を貰い咳込みが分からないと言われ来週来て下さいと言われましたが

薬を飲んでいますが効き目がないような感じをして…今でも夜に変わらず咳込みがありあまり咳込み過ぎると肺炎になるかもって心配です。

また、粉薬飲しか貰ってなく
胸に貼るタイプの薬は貰ってません。

次、病院に連れて行くならアレルギー科より小児科に行った方が良いでしょうか？小児科に行っても治らないような気がし、大きな病院に、紹介してもらい観診てもらう方が良いでしょうか？

また、赤ちゃんの頃から結構風邪引きやすいタイプであり、1ヶ月前からずっと一緒に喉の白いポツポツがあり小児科先生は何かしらと言われ次の週にまた見てもらって白いポツポツがなかったですが、これは何の病気ですか？

小児科アレルギー性鼻炎